Решите один из примеров1). Докажите иррациональность числа корень из 7^4 минус 2*корень из 32). При каких целых значениях а квадратное уравнение ax^2+24x+11=0имеет рациональные корни, сумма которых целое число?3). Определите простым или составным является число 3^30-2*6^15+2^32

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Предположим, что число √7^4 - 2√32 является рациональным. Тогда √7^4 и √32 также будут рациональными.

√7^4 = 7^2 = 49
√32 = 4√2

Таким образом, √7^4 - 2√32 = 49 - 2*4√2 = 49 - 8√2

Предположим, что 49 - 8√2 является рациональным числом. Тогда это число можно представить в виде дроби a/b, где a и b - целые числа, а b ≠ 0.

49 - 8√2 = a/b
49b - 8√2b = a
(49b - a)/b = 8√2

Получается, что 8√2 является рациональным числом, что противоречит известному факту, что √2 является иррациональным числом. Следовательно, исходное число √7^4 - 2√32 также является иррациональным.

2) Для того, чтобы квадратное уравнение ax^2 + 24x + 11 = 0 имело рациональные корни, сумма которых является целым числом, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был полным квадратом.

Дискриминант D = 24^2 - 4a11 = 576 - 44a

Для того, чтобы D был полным квадратом, необходимо найти такие целые значения a, при которых 576 - 44a = n^2, где n - целое число.

Например, если n = 12, то уравнение примет вид 576 - 44a = 144, откуда a = 3.

Следовательно, при a = 3 квадратное уравнение ax^2 + 24x + 11 = 0 будет иметь рациональные корни, сумма которых целое число.

3) Выпишем данное число: 3^30 - 2*6^15 + 2^32.

Заметим, что 6^15 = (23)^15 = 2^15 3^15, а также 2^32 = (2^2)^16 = 4^16 = (4*4)^8 = 16^8.

Тогда наше число примет вид: 3^30 - 22^15 3^15 + 16^8.

Далее можем вынести в качестве общего множителя 3^15: 3^15 (3^15 - 22^15) + 16^8.

Очевидно, что числа 3^15 и 2^15 имеют общие множители, следовательно, сумма 3^15 - 22^15 не является простым числом. Таким образом, данное число 3^30 - 26^15 + 2^32 является составным.