При каких значениях k точки P, Q, R лежат на одной прямой? Дан треугольник ABC. Три параллельные прямые AX, BY и CZ пересекаются с прямыми BC, AC и AB в точках X, Y и Z соответственно. На отрезках AX, BY, CZ выбрали точки P, Q, R так, что AP : P X = BQ : QY = CR : RZ = 1 : k .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Точки P, Q и R лежат на одной прямой при значениях k = 1.

Это можно показать следующим образом. Рассмотрим отрезок AX. Точка P лежит на этом отрезке так, что AP : PX = 1 : k. Пусть AP = a, а PX = b. Тогда мы имеем AP = a, PX = b, и соответственно, AP + PX = a + b = AX. Таким образом, мы можем записать уравнение для точки P на отрезке AX как P = a / (a + b) X + b / (a + b) A.

Аналогично, закончив для всех остальных отрезков, мы получим точки P, Q и R, лежащие на отрезках AX, BY и CZ соответственно, выраженные через точки X, Y и Z.

Теперь, если k = 1, то коэффициенты при точках X, Y и Z в уравнениях для P, Q и R будут одинаковыми. Следовательно, P, Q и R будут лежать на одной прямой.