Сколькими способами можно поставить в клетки доски 1×20 чёрную и белую фишки так, чтобы они не стояли рядом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся.

Поскольку наша доска имеет размер 1 х 20, мы должны поставить 10 чёрных и 10 белых фишек.

Посмотрим на количество способов, которыми мы можем разместить эти фишки. Для этого используем метод перестановок с повторениями.

Разместим чёрные фишки. Поскольку они не могут стоять рядом, первую чёрную фишку мы можем поставить в любую из 20 клеток. Вторую чёрную фишку мы поставим в одной из 19 оставшихся клеток и так далее до 10-ой фишки. Таким образом, количество способов разместить чёрные фишки будет равно 20 19 18 ... 11 = 20! / 10!.

Теперь разместим белые фишки. Аналогично, первую белую фишку мы можем поставить в любую из 19 оставшихся клеток. Вторую – в одной из 18 и так далее до 10-ой. Таким образом, количество способов разместить белые фишки будет равно 19 18 ... * 10 = 19! / 9!.

Учитывая, что мы ставим чёрные и белые фишки независимо друг от друга, общее количество способов будет равно произведению количеств способов поставить чёрные и белые фишки: (20! / 10!) * (19! / 9!).

Подсчитаем это выражение:

(20! / 10!) (19! / 9!) = 184,756 1,316,160 = 243,585,158,400

Итак, всего существует 243,585,158,400 способов разместить чёрные и белые фишки на доске 1×20 так, чтобы они не стояли рядом.