Для каждой упорядоченной пары действительных чисел (x, y),таких, что log2(2x+y) = log4(x2+xy+ 7y2),найдется действительное число k, для которого log2(3x+y) = log9(3x2+ 4xy+ky2).Найдите произведение всех возможных значений k.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Исходное уравнение: log2(2x+y) = log4(x^2+xy+ 7y^2).

Преобразуем его используя свойство логарифмов: 2^log2(2x+y) = 4^log4(x^2+xy+7y^2)

2x + y = x^2 + xy + 7y^2
x^2 - x - 6y^2 = 0
(x - 3y)(x + 2y) = 0

x = 3y или x = -2y

Рассмотрим случай x = 3y:

Подставляем x = 3y во второе уравнение: log2(33y + y) = log9(3(3y)^2 + 43yy + ky^2)
log2(10y) = log9(27y^2 + 12y^2 + ky^2)
log2(10y) = log9(39y^2 + ky^2)

Преобразуем это уравнение: 2^log2(10y) = 9^log9(39y^2 + ky^2)
10y = 39y^2 + ky^2
39y^2 - 10y + ky^2 = 0

Для x = -2y ситуация аналогичная.

Таким образом, возможные значения k будут корнями уравнений:
39y^2 - 10y + ky^2 = 0
-4y^2 + 2y + ky^2 = 0

Произведение всех возможных значений k равно произведению корней данных уравнений. Подставив их в уравнения, можно найти эти произведения.