Имеется партия из 5 лампочек. Средняя толщина спирали 0,1мм, среднее квадратичное отклонение 0.01мм. Если толщина спирали менее 0.08мм, то при включении в сеть лампочка перегорает. Считая толщину спирали распределенной нормально, найдите вероятность того, что при включении в сеть перегорит не менее двух лампочек.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся правилом трех сигм (правилом 68-95-99.7). По этому правилу известно, что для нормального распределения около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% значений лежат в пределах двух стандартных отклонений, а около 99.7% значений лежат в пределах трех стандартных отклонений.

Мы знаем, что средняя толщина спирали 0.1мм, а среднеквадратичное отклонение 0.01мм. Таким образом, два стандартных отклонения от среднего это 0.1 + 2*0.01 = 0.12мм.

Толщина спирали менее 0.08мм это значит перегорание лампочки. Поэтому нам нужно найти вероятность того, что толщина спирали будет меньше 0.08мм. Из правила трех сигм следует что вероятность этого равн
P(X < 0.08) = P(X < μ - 2σ), что составляет около 2.5%.

Теперь найдем вероятность того что перегорит не менее двух лампочек
P(X < 0.08) = 0.025

Тогда, вероятность перегорания хотя бы двух лампочек равна
P(Y >= 2) = 1 - P(Y < 2) = 1 - (P(Y = 0) + P(Y = 1)) = 1 - (C(5,0)(1-0.025)^5 + C(5,1)(1-0.025)^40.025
= 1 - (0.975)^5 - 50.975^4*0.02
≈ 1 - 0.7625 - 0.118
≈ 0.118
≈ 11.89%

Итак, вероятность того, что перегорит не менее двух лампочек при включении в сеть составляет около 11.89%.