Каковы должны быть размеры цилиндрического сосуда объемом 8п литров открытого сверху чтобы еа его изготовление потребовалось наименьшее количество материала

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для цилиндрического сосуда объемом 8π литров наименьшее количество материала потребуется для сосуда с высотой h и радиусом основания r, таким образом:

V = πr²h = 8π

Так как нам нужно минимизировать количество материала, то нужно минимизировать поверхность сосуда. Поверхность сосуда состоит из боковой поверхности и дна.

Боковая поверхность: Sб = 2πr
Площадь дна: Sд = πr²

Полная поверхность: Sп = Sб + Sд = 2πrh + πr²

Так как нам нужно минимизировать Sп при условии, что V = 8π, получаем:

Sп = 2πrh + πr
V = πr²h = 8π

Выразим h из уравнения объема и подставим в уравнение поверхности:

h = 8/r²

Sп = 2πr(8/r²) + πr
Sп = 2π * 8/r + πr
Sп = 16π/r + πr²

Для минимизации Sп найдем производную d(Sп)/dr и приравняем ее к нулю:

d(Sп)/dr = -16π/r² + 2πr =
16 = 2r
r² =
r = √8 = 2√2

h = 8/r² = 8/(8) = 1

Итак, получаем, что наименьшее количество материала потребуется для цилиндрического сосуда с радиусом основания r = 2√2 и высотой h = 1.