Текстовая задача на производную Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать 150 см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус основания цилиндра как r, высоту как h.

Так как сумма высоты и длины окружности окружности основания цилиндра не должна превышать 150 см: h + 2πr ≤ 150.

Объем цилиндра V = πr^2h.

Выразим h из первого уравнения: h = 150 - 2πr.

Подставим данное выражение для h в выражение для объема V: V = πr^2(150 - 2πr).

Найдем производную объема цилиндра по радиусу r: V' = 150πr - 4π^2r^2.

Найдем точку максимума объема, приравняв производную к нулю: 150πr - 4π^2r^2 = 0.

Решаем уравнение: r = 150/4π ≈ 11.96 см.

Теперь находим значение h: h = 150 - 2πr ≈ 102.17 см.

Таким образом, наибольший объем цилиндрической посылки, который можно отправить почтой, равен π(150/4π)^2(150 - 2π(150/4π)) ≈ 3764.75 см^3, при таких размерах: r ≈ 11.96 см, h ≈ 102.17 см.