Уравнения второго порядка y'' = e^(2y) y(0)=0 y'(0)=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно решить численным методом, например, методом Эйлера или методом Рунге-Кутта.

Начнем с метода Эйлера. Для этого разобьем интервал [0, 1] на равные части h и найдем значения функции y в узлах с помощью рекуррентной формулы:

y_{n+1} = y_n + hy'n
y'{n+1} = y'_n + he^(2*y_n)

где y_n и y'_n - значения y и y' в узле n.

Для данной задачи используем h=0.1. Начальное условие y(0)=0 и y'(0)=1.

Получим значения функции y в узлах:
y_1 = 0 + 0.1 1 = 0.1
y_2 = 0.1 + 0.1 1 = 0.2
y_3 = 0.2 + 0.1 * 1.8221188 = 0.38221188
...
Полученные значения будут приближенным решением уравнения.

Другой метод - метод Рунге-Кутта - может дать более точное решение. Для этого также разобьем интервал [0, 1] на равные части h и найдем значения функции с помощью следующих формул:

k1 = hf(x_n, y_n, y'_n)
l1 = hy'(x_n, y_n, y'_n)
k2 = hf(x_n + h/2, y_n + k1/2, y'_n + l1/2)
l2 = hy'(x_n + h/2, y_n + k1/2, y'n + l1/2)
...
y{n+1} = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6
y'{n+1} = y'_n + (l1 + 2l2 + 2l3 + l4)/6

Проделав вышеописанные шаги для каждого узла x_n, можно получить более точное приближенное решение уравнения.