Провести полное исследование функции и построить график к ней. Функция y=1-x/x²+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная функция (y = \frac{1 - x}{x^2 + 1}) является рациональной функцией.

Для начала исследуем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому (x^2 + 1 \neq 0). Это неравенство никогда не выполняется для действительных (x), так как (x^2 + 1) всегда больше нуля. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой.

Теперь найдем область значений функции. При (x \to \infty), (y \to 0), так как коэффициенты перед (x) равны. Это означает, что функция стремится к нулю на бесконечности. При (x = 0), (y = 1), так как числитель равен 1. Таким образом, область значений функции (y) находится в интервале (-\infty, 1).

Теперь построим график данной функции:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \
\hline
-2 & -0.75 \
-1 & 0.5 \
0 & 1 \
1 & 0.5 \
2 & -0.75 \
\hline
\end{array}
]

Построим график, используя найденные значения:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \
\hline
-2 & -0.75 \
-1 & 0.5 \
0 & 1 \
1 & 0.5 \
2 & -0.75 \
\hline
\end{array}
]

На графике мы видим, что функция имеет асимптоту в точке (x = 0) и (y = 1). Она также симметрична относительно оси (y).