Провести полное исследование функции и построить график. Функция y=1-x/x²+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала проанализируем функцию y=1-x/x²+1:

Область определения:
Знаменатель не может быть равен 0, поэтому x²+1 ≠ 0
x² ≠ -1
x принадлежит множеству всех действительных чисел, за исключением x=-i и x=i, где i - мнимая единица.

Найдем производную функции:
y' = (x² + 1)^(-1) - (-1)*(2x)(x² + 1)^(-2)
y' = 1/(x² + 1) + 2x/(x² + 1)²

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
0 = 1/(x² + 1) + 2x/(x² + 1)²
0 = 1 + 2x/(x² + 1)
2x = -1
x = -1/2

Найдем вторую производную для определения выпуклости/вогнутости:
y'' = -2(x² + 1)^(-2) + 2(x² + 1)^(-1) + 4x*(-2x)(x² + 1)^(-2)
y'' = -2/(x² + 1)² + 2/(x² + 1) + 8x²/(x² + 1)²

Посмотрим на поведение функции на участках:

Построим график функции в программе.