Егэ по математике. Тема Объемы. Задача 2 Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны корень из 21 два других равны корень из 55, два оставшихся – корень из 70.Найдите объём пирамиды. В ответ укажите число, деленное на корень из 78.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для объема пирамиды: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Пусть сторона треугольника основания равна a. Тогда площадь основания вычисляется по формуле S = (a^2 * sqrt(3))/4.

Для треугольника со сторонами a = sqrt(21), b = sqrt(55), c = sqrt(70) найдем площадь по формуле Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр.

Получаем, что p = (sqrt(21) + sqrt(55) + sqrt(70))/2. Подставляем значения и считаем площадь основания - S = sqrt(770).

Далее для нахождения высоты пирамиды проведем высоты из вершины пирамиды на каждое из оснований. Таким образом, мы разбиваем нашу пирамиду на три треугольных тетраэдра, каждый из которых является равнобедренным. Высоты этих тетраэдров будут совпадать и равны (2/3) * h, где h - искомая высота пирамиды.

После этого можем составить систему уравнений для нахождения h:

h = sqrt(h^2 + (a/2)^2),
h = sqrt(h^2 + (b/2)^2),
h = sqrt(h^2 + (c/2)^2).

Решая эту систему уравнений, получаем h = sqrt(5).

Теперь можем найти объем пирамиды: V = (1/3) S h = (1/3) sqrt(770) sqrt(5) = sqrt(385/3).

Итак, объем пирамиды равен 385/3, что при делении на sqrt(78) дает нам результат: 385/(3 sqrt(78)) = 5/(3 sqrt(2)).