Как решать задания по математике такого типа? Найти производную функции u= (x^2) * y - z в точке Mo(-2,4,1) в направлении нормали к поверхности z = (x^2) * y в этой же точке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого типа задач необходимо применить формулу для нахождения производной по направлению.

Найдем частные производные функции u = (x^2) * y - z по переменным x, y, z:
du/dx = 2xy
du/dy = x^2 - 1
du/dz = -1

Найдем вектор нормали к поверхности z = (x^2) * y в точке Mo(-2,4,1):
n = < dz/dx, dz/dy, -1 > = < 2y, x^2, -1 >
n = <8, 4, -1>

Найдем градиент функции u в точке Mo(-2,4,1):
grad(u) = < du/dx, du/dy, du/dz > = < 2xy, x^2 - 1, -1 > = < -8, 3, -1 >

Найдем проекцию градиента функции u на вектор нормали:
|grad(u)| = √((-8)^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(64 + 9 + 1) = √74
|n| = √(8^2 + 4^2 + (-1)^2) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9
Проекция будет равна произведению длины градиента на косинус угла между векторами n и grad(u):
proj_n(grad(u)) = (grad(u) n) / |n| = ( -88 + 34 -1) / (9√74) = (-64 + 12 - 1) / (9√74) = -53 / (9√74)

Таким образом, производная функции u в точке Mo(-2,4,1) в направлении нормали к поверхности z = (x^2) y в этой же точке равна -53 / (9√74).