Площадь треугольника ABC равна 7. Внутри треугольника ABC взята точка O такая, что площадь треугольника OAB равна 4. Точки K,M,N,P - середины отрезков AO,OB,BC,AC соответственно. Найдите площадь четырехугольника KMNP

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC через a, b, c, а его полупериметр через p. Тогда по формуле Герона площадь треугольника ABC равна:
S_ABC = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 7
а сторона треугольника равна:
p = (a + b + c)/2

Площадь треугольника OAB равна 4, а его высота из вершины O равна k, откуда:
4 = 0.5 OA k
k = 8/OA

Площадь четырехугольника KMNP равна полусумме площадей треугольников KON и KMP, т.е.:
S_KMNP = 0.5 S_KON + 0.5 S_KMP

Для начала найдем координаты точек O, K, M, N, P. Пусть треугольник ABC лежит на плоскости Oxy так, что вершина A совпадает с началом координат и сторона AB лежит на оси Ox. Координаты точек будут:
A(0, 0), B(b, 0), C(x, y), O(x0, y0), K(x0/2, y0/2), M(b/2, 0), N(x/2, y/2), P(0, y/2)

Площадь треугольника ABC равна половине векторного произведения сторон AB и AC:
S_ABC = 0.5 |AB x AC| = 0.5 |(b, 0, 0) x (x, y, 0)| = 0.5 |0, 0, bx| = 0.5 bx

Таким образом, получаем, что bx = 14, а значит b = 14/x. Подставляя это значение в площадь четырехугольника KMNP, получим:
S_KMNP = 0.5 (S_KON + S_KMP) = 0.5 (S_OAB + S_AMN) = 0.5 * (4 + S_AMN)

Теперь найдем площадь треугольника AMN. Так как точки M, N, A лежат на одной прямой, то S_AMN = 0.5 AM MN sin(AMN), где AM = b/2 = 7/x, MN = sqrt((x/2)^2 + y^2) = sqrt((x^2 + 4y^2)/4), sin(AMN) = y/sqrt(x^2 + 4y^2). Значит:
S_AMN = 0.5 7/x sqrt((x^2 + 4y^2)/4) y/sqrt(x^2 + 4y^2) = 7y/(4x)

Тогда окончательно площадь четырехугольника KMNP равна:
S_KMNP = 0.5 * (4 + 7y/(4x)) = 2 + 7y/(8x)