Решить уравнение 4sin^2(2x) - cos(2x) = 5, пошагово с объяснением. Чет я уснул, пока перерешивал по десять раз.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения нам нужно воспользоваться формулами для тригонометрических функций. Для начала заметим, что ( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ) и ( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) ).

Итак, у нас есть уравнение ( 4\sin^2(2x) - \cos(2x) = 5 ).

Заменим (\sin^2(2x)) и (\cos(2x)) на их эквиваленты:

( 4(2\sin(x)\cos(x))^2 - (\cos^2(x) - \sin^2(x)) = 5 ).

Раскроем скобки:

( 16\sin^2(x)\cos^2(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x) = 5 ).

Далее, заметим, что ( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) ) (из уравнения sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

( 16(1 - \cos^2(x))\cos^2(x) - \cos^2(x) + 1 - \cos^2(x) = 5 ).

( 16\cos^2(x) - 16\cos^4(x) - \cos^2(x) + 1 - \cos^2(x) = 5 ).

Далее сгруппируем по степеням (\cos(x)):

( -16\cos^4(x) + 15\cos^2(x) - 4 = 0 ).

Это четвертая степень уравнение относительно (\cos(x)), его можно решить методом подстановки (\cos(x) = t).

( -16t^4 + 15t^2 - 4 = 0 ).

Данное уравнение - квадратное относительно (t^2). Решим его:

( t^2 = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 64 \cdot 16}}{-32} ).

( t^2 = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 1024}}{-32} ).

( t^2 = \frac{-15 \pm \sqrt{1249}}{-32} ).

( t^2 = \frac{-15 \pm 35}{-32} ).

Итак, получаем два возможных корня: ( t^2 = \frac{20}{-32} ) и ( t^2 = \frac{50}{-32} ).

Теперь находим соответствующие значения (\cos(x)) и далее находим значение (\sin(x)).