Найдите все положительные целые x, такие что x^4-8x+16 является полным квадратом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти все положительные целые x, такие что выражение x^4-8x+16 является полным квадратом, нужно найти такой x, при котором x^4-8x+16 можно представить как квадрат другого выражения.

Рассмотрим x^4-8x+16 как квадрат некоторого выражения вида (x^2 + a)^2 = x^4 + 2ax^2 + a^2.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в выражениях x^4-8x+16 и x^4 + 2ax^2 + a^2, получаем:
2a = 0 => a = 0
a^2 = 16 => a = 4

Таким образом, x^4-8x+16 = (x^2 + 4)^2.

Далее, раскрываем скобки: (x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16.

Сравнивая с заданным выражением x^4-8x+16, получаем:
8x^2 = -8x => x^2 = -x

Таким образом, x^2 = -x, что означает, что x = -1 является положительным целым числом, а также удовлетворяет условиям задачи.

Итак, положительным целым числом, при котором x^4-8x+16 является полным квадратом, является только число x = 1.