Разложение многочлена на множители на множествах R и С Разложите многочлен x^4 + 10x^3 + 38x^2 + 66x + 45 на множители на множествах R и C, если известно, что многочлен имеет корень -2-i.
Хотелось бы увидеть разбор, а не просто решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем сопряженный корень для -2-i.

Сопряженный корень для a+bi это a-bi. Поэтому сопряженным корнем для -2-i будет -2+i.

Теперь нам известны два корня многочлена: -2-i и -2+i. По теореме о корнях многочлена, если (x-α) и (x-β) являются множителями многочлена, то многочлен делится на их произведение (x-α)(x-β).

Таким образом, многочлен x^4 + 10x^3 + 38x^2 + 66x + 45 разлагается на множители вида (x-(-2-i))(x-(-2+i))(x-α)(x-β), где α и β - еще два корня многочлена.

Теперь найдем два оставшихся корня многочлена. Для этого разделим исходный многочлен на (x+2+i)(x+2-i) с помощью синтетического деления или деления в столбик.

(x^4 + 10x^3 + 38x^2 + 66x + 45) / ((x+2+i)(x+2-i))

Получаем (x^2 + 8x + 17).

Теперь найдем корни квадратного уравнения x^2 + 8x + 17 = 0, используя дискриминант или метод полного квадрата. Дискриминант равен 8^2 - 4117 = 36, что положительно, а значит у уравнения есть два действительных корня.

x1 = (-8 + √36)/2 = -4 + 3i
x2 = (-8 - √36)/2 = -4 - 3i

Итак, исходный многочлен x^4 + 10x^3 + 38x^2 + 66x + 45 разлагается на множители на множестве C следующим образом: (x+2+i)(x+2-i)(x+4+3i)(x+4-3i).