Найти все комплексные корни уравнений Z^6 + Z^3 - 12 = 0 Z^6 + Z^3 - 2 =0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения всех комплексных корней данных уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки.

Уравнение Z^6 + Z^3 - 12 = 0
Для удобства, обозначим Z^3 = X. Тогда уравнение примет вид X^2 + X - 12 = 0.
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: D = 1^2 - 41(-12) = 49.
Найдем корни: X1 = (-1 + 7) / 2 = 3, X2 = (-1 - 7) / 2 = -4.
Теперь вернемся к обозначенной подстановке: Z^3 = 3 => Z^3 - 3 = 0 => (Z - ∛3)(Z^2 + Z∛3 + ∛9) = 0.
Отсюда Z1 = ∛3.

Уравнение Z^6 + Z^3 - 2 = 0
Аналогично обозначим Z^3 = Y. Тогда уравнение примет вид Y^2 + Y - 2 = 0.
Решим квадратное уравнение: D = 1^2 - 41(-2) = 9.
Найдем корни: Y1 = (-1 + 3) / 2 = 1, Y2 = (-1 - 3) / 2 = -2.
Теперь возвращаемся к обозначенной подстановке: Z^3 = 1 => Z^3 - 1 = 0 => (Z - 1)(Z^2 + Z + 1) = 0.
Отсюда Z2 = 1.

Таким образом, комплексные корни уравнений Z^6 + Z^3 - 12 = 0 и Z^6 + Z^3 - 2 = 0 равны соответственно ∛3 и 1.