Задача на нахождений наибольший значений Вычислить наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса r так, что нижнее основание трапеции совпадает с диаметром полукруга.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно найти наибольшее значение площади трапеции, которая вписана в полукруг радиуса r и у которой нижнее основание совпадает с диаметром полукруга. Пусть a - длина каждой из сторон верхнего основания трапеции, а h - высота трапеции.

Так как нижнее основание трапеции совпадает с диаметром полукруга, то a = 2r.

Площадь трапеции равна S = (a + 2a) h / 2 = 3a h / 2.

Также из схемы видно, что радиус полукруга r является гипотенузой, а h - высотой прямоугольного треугольника, вписанного в полукруг. Из этого получаем, что h = sqrt(r^2 - a^2).

Теперь мы можем выразить площадь трапеции через только одну переменную a:

S = 3a * sqrt(r^2 - a^2) / 2.

Далее найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти значение a, при котором площадь трапеции будет максимальной.

dS/da = 3 sqrt(r^2 - a^2) - 3a a / sqrt(r^2 - a^2) = 3 / sqrt(r^2 - a^2) * (r^2 - 2a^2).

Приравниваем производную к нулю:

3 / sqrt(r^2 - a^2) * (r^2 - 2a^2) = 0.

r^2 - 2a^2 = 0.

2a^2 = r^2.

a = sqrt(r^2 / 2) = r / sqrt(2) = r * sqrt(2) / 2.

Теперь подставляем значение a обратно в формулу для площади трапеции:

S = 3 (r sqrt(2) / 2) sqrt(r^2 - (r sqrt(2) / 2)^2) / 2 = 3 (r sqrt(2) / 2) sqrt(r^2 - r^2 / 2) / 2 = 3 (r sqrt(2) / 2) r sqrt(2) / 2 = 3 (r^2 2 / 2^2) = 3 (r^2 / 2) = 3r^2 / 2.

Таким образом, наибольшая площадь трапеции вписанной в полукруг радиуса r, когда нижнее основание совпадает с диаметром полукруга, равна 3r^2 / 2.