В окружность радиусом вписан прямоугольник наибольшей площади Найди его размеры

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине диагонали прямоугольника, то есть r = √(a^2 + b^2) / 2.

Площадь прямоугольника S = a * b. Так как площадь прямоугольника наибольшая, то и площадь заштрихованной фигуры (включая окружность) тоже наибольшая. Площадь заштрихованной фигуры равна площади прямоугольника плюс площадь четырех равных секторов, образованных окружностью.

S' = a b + 4 π r^2 / 4 = a b + π * (a^2 + b^2) / 4.

Запишем выражение для S' через a:

S' = a (a + π b / 4) + π * (a^2 + b^2) / 4.

Найдем производную S' по a и приравняем ее к нулю:

dS' / da = 0 = a + π b / 4 + π a / 2.

a + π b / 4 + π a / 2 = 0.

2a + π a + π b / 4 = 0.

a(2 + π) = -π * b / 4.

a = -π b / 4 / (2 + π) = -π b / (8 + 4π).

Таким образом, найденное знакопоменянное значение прямоугольника, вписанного в окружность радиусом вписан прямоугольник наибольшей площади является a = -π b / (8 + 4π), b = -π a / (8 + 4π).

Эти размеры нельзя найти, так как они являются отрицательными.