Может ли (6ⁿ + 5) являться точной степенью натурального числа Существует ли натуральное число n, при котором 6ⁿ + 5 является точной степенью (выше первой) натурального числа, т.е:
6ⁿ + 5 = mᵏ
где m - натуральное число и k ≥ 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для проверки этого утверждения мы можем рассмотреть остатки при делении чисел 6ⁿ + 5 на различные числа. Обратим внимание, что все степени числа 6 дают остаток 1 при делении на 5, то есть 6ⁿ ≡ 1 (mod 5) для любого натурального n.

Теперь рассмотрим уравнение 6ⁿ + 5 = mᵏ. Посмотрим на остатки при делении левой и правой части на 5:
6ⁿ ≡ -5 (mod 5)
6ⁿ + 5 ≡ 0 (mod 5)
mᵏ ≡ 0, 1, 2, 3, 4 (mod 5)

Из этого следует, что 6ⁿ + 5 не может быть записано в виде точной степени натурального числа для любого натурального n и m, так как остаток при делении левой части на 5 равен 0, в то время как правая часть имеет остаток от 0 до 4. Следовательно, нет такого натурального числа n, при котором 6ⁿ + 5 является точной степенью (выше первой) натурального числа m.