Олимпиада по математика Простое число p таково, что для любых a и b числа 13а+4b и а+3b или оба делятся на p, или оба не делятся. Чему может быть равно p? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи, давайте проанализируем, что происходит с числами ( 13a + 4b ) и ( a + 3b ) относительно простого числа ( p ).

Если ( a + 3b \equiv 0 \mod p ), то мы можем выразить ( a ) через ( b ):
[
a \equiv -3b \mod p.
]
Подставим ( a ) в выражение ( 13a + 4b ):
[
13(-3b) + 4b = -39b + 4b = -35b.
]
Таким образом, если ( a + 3b \equiv 0 \mod p ), то ( 13a + 4b \equiv -35b \mod p ).

Аналогично, если ( a + 3b \not\equiv 0 \mod p ), то ( 13a + 4b ) также не должно делиться на ( p ). Таким образом, нам нужно, чтобы ( -35b \equiv 0 \mod p ) и ( b \equiv 0 \mod p ).

Следовательно, у нас есть:

Если ( a + 3b \equiv 0 \mod p ), то ( 13a + 4b \equiv 0 \mod p ).Если ( a + 3b \not\equiv 0 \mod p ), то ( 13a + 4b \not\equiv 0 \mod p ).

Теперь выясним, для каких простых чисел ( p ) выполняется это условие. Мы должны проверить делимость выражений:

( -35 \mod p )

Мы знаем, что множитель ( -35 ) нужно быть кратным ( p ). Так как ( -35 = -1 \cdot 5 \cdot 7 ).

Следовательно, возможные значения ( p ) — это простые делители числа ( 35 ), т.е. ( 5 ) и ( 7 ).

Таким образом, ( p ) может равняться:

( 5 )( 7 )

Ответ:
5
7