Олимпиада по математике
Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 8». Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 13». Саша и Юра не ошибаются. Какое число задумал Юра?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим задуманные числа Саши и Юры как ( S ) и ( Y ) соответственно.

Сначала рассмотрим заявление Саши: "В произведении наших чисел нет цифры 8". Это означает, что произведение ( S \cdot Y ) не должно содержать цифры 8.

Следуя за этим, Юра сказал: "Тогда сумма наших чисел равна 13", что можно записать как ( S + Y = 13 ).

Так как оба числа находятся в диапазоне от 1 до 10, возможные пары ( (S, Y) ), при которых сумма равна 13, следующие:

( (3, 10) )( (4, 9) )( (5, 8) )( (6, 7) )( (7, 6) )( (8, 5) )( (9, 4) )( (10, 3) )

Теперь найдем произведение для каждой из этих пар и проверим, содержит ли оно цифру 8:

( 3 \cdot 10 = 30 ) (нет 8)( 4 \cdot 9 = 36 ) (нет 8)( 5 \cdot 8 = 40 ) (есть 8)( 6 \cdot 7 = 42 ) (нет 8)( 7 \cdot 6 = 42 ) (нет 8)( 8 \cdot 5 = 40 ) (есть 8)( 9 \cdot 4 = 36 ) (нет 8)( 10 \cdot 3 = 30 ) (нет 8)

Из всех подходящих пар с произведениями без цифры 8 остаются: ( (3, 10) ), ( (4, 9) ), ( (6, 7) ), ( (7, 6) ), ( (9, 4) ), и ( (10, 3) ).

Таким образом, возможные варьирования сумм ( S + Y = 13 ) без цифры 8 в произведении могут быть либо ( (4, 9) ), либо ( (6, 7) ) (и их перестановки).

Если предположить, что Саша задумал 5, то ( Y ) должен быть равен 8 (что недопустимо), и, следовательно, это не может быть ответом.

В результате следует, что единственным вариантом для Юры остаётся 4 или 9.

Рассмотрим пару ( (4, 9) ):

Произведение: ( 4 \cdot 9 = 36 ) (нет цифры 8);4 + 9 = 13.

Таким образом, Юра мог задумать число 9, так как это единственный возможный вариант, что подтверждает все условия.

Ответ: Юра задумал число 9.