Олимпиада по математике!!!!! Внутри трапеции ABCDABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO=BO=CO=BC и DA=DO=DC. Сколько градусов составляет угол BAO?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть мы обозначим угол ( BAO ) как ( \alpha ).

Из условия задачи у нас есть трапеция ( ABCD ) с основаниями ( AD ) и ( BC ), в которой отмечена точка ( O ). Даны равенства: ( AO = BO = CO = BC ) и ( DA = DO = DC ).

Давайте рассмотрим треугольники ( AOB ), ( BOC ) и ( COD ). Из равенств мы видим, что:

В треугольнике ( AOB ):

( AO = BO ) (равные стороны),угол ( AOB ) будет равен ( 180^\circ - 2\alpha ) (по внутренним углам треугольника).

В треугольнике ( BOC ):

( BO = CO ) (также равные стороны),угол ( BOC = 180^\circ - 2\beta ) (где ( \beta ) - угол ( CBO )).

Из-за свойств трапеции и того, что ( AD ) и ( BC ) параллельны, мы имеем:

Угол ( ABC = \beta ).Угол ( ADC = \beta ) (внешние углы треугольников равны).

Как следствие, ( \alpha + \beta + \alpha + \beta + (180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) = 360^\circ ).

Из этого уравнения можно упростить и выразить ( \alpha ) и ( \beta ). Однако более простой путь – это заметить, что ( O ) является точкой, где равные сегменты создают симметрию.

Так как ( AO = BO = CO ) и углы ( AOB ), ( BOC ) зависят от ( \alpha ) и ( \beta ), следует, что вся система находится под углом, соответствующим равнобедренным треугольникам, и поскольку ( AO, BO, CO ) равны, это значит, что:

( \triangle AOB ) равнобедренный: ( \alpha = \beta ).( 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ ).

Следовательно, ( 4\alpha = 180^\circ ) и, соответственно, ( \alpha = 45^\circ ).

Ответ: ( \angle BAO = 45^\circ ).