Я стал посещать музеи и театры и читать книги.
Запятая не нужна, так как союз "и" связывает два однородных члена предложения: посещать музеи и театры + читать книги.
Я стал посещать музеи и театры и читать книги.
Запятая не нужна, так как союз "и" связывает два однородных члена предложения: посещать музеи и театры + читать книги.