Логарифмические уравнения и неравенства.
log(1/2)(3x-5)=-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения логарифмического уравнения ( \log_{\frac{1}{2}}(3x - 5) = -1 ), необходимо вспомнить, что логарифм с основанием ( \frac{1}{2} ) равен -1, когда аргумент равен ( 2^{-1} ), то есть ( \frac{1}{2} ). То есть:

[
\log_{\frac{1}{2}}(3x - 5) = -1 \implies 3x - 5 = \frac{1}{2}
]

Теперь решим это уравнение:

[
3x = \frac{1}{2} + 5
]

[
5 = \frac{10}{2}
]

Теперь складываем:

[
3x = \frac{1}{2} + \frac{10}{2} = \frac{11}{2}
]

[
x = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{6}
]

Теперь проверим, удовлетворяет ли полученное значение условиям логарифма. Аргумент логарифма должен быть положительным:

[
3x - 5 > 0 \implies 3 \cdot \frac{11}{6} - 5 > 0
]

Упрощаем:

[
\frac{33}{6} - 5 > 0 \
\frac{33}{6} - \frac{30}{6} > 0 \
\frac{3}{6} > 0
]

Это верно, следовательно, полученное значение ( x = \frac{11}{6} ) является решением уравнения.

Ответ: ( x = \frac{11}{6} ).