Тест по математике Найдите 22sin 2α, если tgα=√10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения выражения (22 \sin 2\alpha) при заданном (\tan \alpha = \sqrt{10}) воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Известно, что

[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha.
]

Сначала найдем (\sin \alpha) и (\cos \alpha). Поскольку (\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{10}), можем выразить (\sin \alpha) и (\cos \alpha) через одну из сторон прямоугольного треугольника. Например, пусть:

[
\sin \alpha = \sqrt{10} \cos \alpha.
]

Воспользуемся отношением:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
]

Подставим (\sin \alpha):

[
(\sqrt{10} \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1,
]
[
10 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,
]
[
11 \cos^2 \alpha = 1.
]

Отсюда находим (\cos \alpha):

[
\cos^2 \alpha = \frac{1}{11} \implies \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{11}}.
]

Теперь найдем (\sin \alpha):

[
\sin \alpha = \sqrt{10} \cos \alpha = \sqrt{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}.
]

Теперь можем найти (\sin 2\alpha):

[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{1}{\sqrt{11}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{11}.
]

Теперь подставим это в выражение (22 \sin 2\alpha):

[
22 \sin 2\alpha = 22 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{11} = \frac{44 \sqrt{10}}{11} = 4 \sqrt{10}.
]

Таким образом, ответ:

[
\boxed{4 \sqrt{10}}.
]