Заряженный конденсатор емкостью C=0,5 мкФ подключили к катушке индуктивностью L=5,0 мГн. Через какое время с момента подключения катушки энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из уравнения сохранения энергии для колебательного контура имеем:

(\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI^2),

где (V) - напряжение на конденсаторе, а (I) - ток в катушке.

Рассмотрим тот момент времени, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки. Поскольку (V = L\frac{dI}{dt}), можем переписать уравнение:

(\frac{1}{2}C(L\frac{dI}{dt})^2 = \frac{1}{2}LI^2).

(C(L\frac{dI}{dt})^2 = LI^2).

((\frac{dI}{dt})^2 = \frac{I^2}{LC}).

(\frac{dI}{I} = \frac{dt}{\sqrt{(LC)}}).

Интегрируя обе стороны, получаем:

(\ln|I| = \frac{t}{\sqrt{(LC)}} + C_1).

При (t = 0) имеем начальные условия (I = 0), следовательно, (C_1 = \ln(0) = -\infty).

Подставляя в уравнение (t = \frac{\ln|I|}{\sqrt{(LC)}}), при (I = \infty), получаем (t = \infty).

Таким образом, энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки через бесконечное время.