Автомобиль приближается к пункту A со скоростью 80 км/ч. В тот момент, когда ему оставалось проехать 10 км, из пункта A в перпендикулярном направлении выезжает грузовик со скоростью 60 км/ч. Чему равно наименьшее расстояние (в км) между автомобилем и грузовиком?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего расстояния между автомобилем и грузовиком воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть расстояние между автомобилем и грузовиком в некоторый момент времени равно d. Тогда за время, когда автомобилю и грузовику встретиться, автомобиль проедет (10 - d) км, а грузовик проедет d км.

Из треугольника Пифагора получаем:

(10 - d)^2 + d^2 = (80t)^2, где t - время встречи автомобиля и грузовика.

Раскрываем скобки:

100 - 20d + d^2 + d^2 = 6400t^2

Упрощаем:

2d^2 - 20d + 100 = 6400t^2

Поскольку d находится в диапазоне от 0 до 10 км, то наименьшее расстояние между автомобилем и грузовиком будет тогда, когда t минимально. Ищем минимум квадратичной функции, находим его при d = 5 км.

Подставляем d = 5 в уравнение:

25^2 - 205 + 100 = 6400t^2

50 - 100 + 100 = 6400t^2

50 = 6400t^2

t^2 = 50 / 6400 = 1 / 128

t = 1 / √128 = 1 / 8√2

То есть наименьшее расстояние между автомобилем и грузовиком равно 5 км.