Материальная точка массой 5 грамм колеблется Согласно уравнению X=10 cos(2t+ выражается в сантиметр найти максимальную силу действующую на точку и полную энергию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения максимальной силы, действующей на точку, нам необходимо найти максимальное ускорение точки.

Уравнение колебаний дано в виде X = 10 cos(2t), где X - координата точки, t - время.

Ускорение точки определяется как производная дважды по времени от координаты X:

a = d^2X/dt^2 = -40 sin(2t)

Максимальное ускорение будет равно амплитуде колебаний, так как sin(2t) изменяется от -1 до 1:

a_max = 40 см/с^2

Максимальная сила, действующая на точку, определяется как произведение массы на максимальное ускорение:

F_max = ma_max
F_max = 5 г 40 см/с^2
F_max = 200 гсм/с^2 = 2 Н

Полная энергия точки в колебательном движении состоит из кинетической и потенциальной энергии:

Э = Т + П

Где кинетическая энергия определяется как T = (1/2)mv^2, а потенциальная энергия как P = (1/2)kx^2

Поскольку скорость исчисляется как производная координаты по времени, то v = dx/dt = -20 sin(2t)

Таким образом, кинетическая энергия точки будет равна:

T = (1/2) 0,005 кг (-20 см/с sin(2t))^2
T = 0.50.005(-20)^2sin^2(2t)
T = 0.50.005400*sin^2(2t)
T = 1 Дж

Потенциальная энергия точки в момент времени t равна:

P = (1/2)kx^2 = (1/2)k(10cos(2t))^2
P = 50kcos^2(2t)

Так как полная энергия постоянна во времени, то энергия принимает одно и то же значение во всех моментах времени:

E = T + P = const

const = 1 Дж + 50k*cos^2(2t)

Если нужно выразить полную энергию в зависимости от времени, можно учесть, что cos^2(2t) = (1+cos(4t))/2

const = 1 Дж + 50k*(1+cos(4t))/2
const = 1 Дж + 25k + 25kcos(4t)