В течение интервала времени T = 4 с скорость тела меняется по закону v = At2 + Bt , где A = 2 м/с3, B =4 м/с2, (0 ≤ t ≤ T). Найдите среднюю скорость, и среднее ускорение за этот промежуток времени.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения средней скорости за промежуток времени T = 4 с, нужно найти изменение положения тела за это время и разделить на T.

Из формулы для скорости v = At^2 + Bt найдем закон движения тела:
s(t) = ∫v(t)dt = ∫(At^2 + Bt)dt = (1/3)At^3 + (1/2)Bt^2 = (2/3)t^3 + 2t^2

Тогда положение тела в момент времени t = 0 и t = T будет равно:
s(0) = 0,
s(T) = (2/3)T^3 + 2T^2 = (2/3)(4)^3 + 2*(4)^2 = 128/3 + 32 = 224/3

Перемещение тела за промежуток времени T:
Δs = s(T) - s(0) = 224/3

Таким образом, средняя скорость за время T равна:
Vср = Δs / T = (224/3) / 4 = 56 / 3 м/c

Теперь найдем среднее ускорение. Для этого выразим ускорение как производную от скорости:
a(t) = dv(t)/dt = 2At + B = 4t + 4

Тогда среднее ускорение за время T:
aср = Δv / T = (v(T) - v(0)) / T = (8T^2 + 4T) / 4 = 2T^2 + T

Подставляем T = 4:
aср = 2*(4)^2 + 4 = 32 + 4 = 36 м/с^2

Итак, средняя скорость за время T равна 56/3 м/с, среднее ускорение за время T равно 36 м/с^2.