На лёгкой нерастяжимой нити подвешен тяжёлый шарик. На какой угол от состояния равновесия надо отвести шарик, чтобы при последующих качаниях максимальная сила натяжения нити была в 4 раза больше минимальной?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи применим закон сохранения энергии.

Пусть максимальное отклонение шарика от состояния равновесия равно углу ( \theta ). Тогда при максимальном отклонении сила натяжения нити будет максимальной.

Раз у нас нити нерастяжимая, то потенциальная энергия нити на максимальном отклонении равна кинетической энергии на минимальном отклонении:

[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 ]

м, v и h - масса шарика, скорость и высота шарика соответственно.

Скорость шарика на минимальном отклонении равна нулю. Поэтому:

[ mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 ]

Кинетическая энергия на минимальном отклонении равна потенциальной энергии на максимальном отклонении:

[ \frac{1}{2}mv_{\text{min}}^2 = mgh ]

Отсюда выразим ( v{\text{max}} ) через ( v{\text{min}} ):

[ v{\text{max}} = \sqrt{2gh} + v{\text{min}} ]

Сила натяжения нити на максимальном отклонении равна:

[ T{\text{max}} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{v{\text{max}}}{R} \right)^2 \cdot R ]

где Р - длина нити.

Аналогично, на минимальном отклонении:

[ T{\text{min}} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{v{\text{min}}}{R} \right)^2 \cdot R ]

Подставим в формулы для ( T{\text{max}} ) и ( T{\text{min}} ) выражения для ( v{\text{max}} ) и ( v{\text{min}} ) и получим:

[ T{\text{max}} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{\sqrt{2gh} + v{\text{min}}}{R} \right)^2 \cdot R ]

[ T{\text{min}} = m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{v{\text{min}}}{R} \right)^2 \cdot R ]

Из условия задачи ( T{\text{max}} = 4 \cdot T{\text{min}} ), поэтому:

[ m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{\sqrt{2gh} + v{\text{min}}}{R} \right)^2 \cdot R = 4 \cdot (m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{v{\text{min}}}{R} \right)^2 \cdot R ) ]

Упростим уравнение, подставив значение (v_{min}):

[ m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot \left( \frac{\sqrt{2gh} + \sqrt{2gh} - \sqrt{2gh}}{R} \right)^2 \cdot R = 4 \cdot m \cdot g \cdot \cos{\theta} + 4 \cdot m \cdot \left( \frac{\sqrt{2gh}}{R} \right)^2 \cdot R ]

[ m \cdot g \cdot \cos{\theta} + m \cdot (\sqrt{2gh})^2 \cdot R = 4 \cdot m \cdot (\sqrt{2gh})^2 \cdot R ]

[ g \cos{\theta} + 2gh = 8gh ]

[ g \cos{\theta} = 6gh ]

[ \cos{\theta} = 6h ]

[ \theta = \arccos{6h} ]

Таким образом, шарик нужно отвести под углом ( \arccos{6h} ), чтобы при последующих качаниях максимальная сила натяжения нити была в 4 раза больше минимальной.