При перенесении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в 2 раза. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в 3 раза больше радиуса планеты?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( M_1 ) - масса Земли, ( M_2 ) - масса планеты, ( R_1 ) - радиус Земли, ( R_2 ) - радиус планеты, ( T_1 ) - период колебаний на Земле, ( T_2 ) - период колебаний на другой планете.

По закону сохранения энергии для математического маятника считается, что ( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} ), где ( l ) - длина нити маятника, ( g ) - ускорение свободного падения.

По условию задачи, ( T_2 = 2T_1 ), откуда ( \sqrt{\frac{l_2}{g_2}} = 2\sqrt{\frac{l_1}{g_1}} ).

Так как ( g = \frac{GM}{R^2} ), где ( G ) - постоянная всемирного тяготения, то из предыдущего уравнения имеем:

[ \sqrt{\frac{l_2}{\frac{GM_2}{R_2^2}}} = 2\sqrt{\frac{l_1}{\frac{GM_1}{R_1^2}}} ]

Упростим:

[ R_2\sqrt{\frac{l_2}{GM_2}} = 2R_1\sqrt{\frac{l_1}{GM_1}} ]

[ R_2\sqrt{\frac{l_2}{M_2}} = 2R_1\sqrt{\frac{l_1}{M_1}} ]

[ R_1R_2\sqrt{\frac{M_1}{M_2}} = 2R_1^2 ]

[ \frac{M_1R_1R_2}{M_2} = 2R_1^2 ]

[ \frac{M_1}{M_2} = \frac{2R_1^2 \cdot M_2}{R_1R_2} = 2 \cdot \frac{R_1^2}{R_2} = 2 \cdot \frac{(3)^2}{1} = 18 ]

Следовательно, масса Земли в 18 раз больше массы планеты.