По горизонтальной поверхности движутся два тела. Потенциальная энергия первого тела в два раза больше, чем потенциальная энергия второго тела, а его кинетическая энергия в два раза меньше кинетической энергии второго тела. Найдите отношение импульса первого тела к импульсу второго тела.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Отношение импульса первого тела к импульсу второго тела можно найти по формуле:
[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1v_1}{m_2v_2}, ]
где ( p_1 ) и ( p_2 ) - импульсы первого и второго тела соответственно, ( m_1 ) и ( m_2 ) - их массы, ( v_1 ) и ( v_2 ) - их скорости.

Так как мы не знаем массы и скорости тел, но знаем, что потенциальная энергия первого тела в два раза больше, чем потенциальная энергия второго тела, а его кинетическая энергия в два раза меньше кинетической энергии второго тела, то можно записать:
[ 2U_2 = U_1, ]
[ K_2 = 2K_1, ]
где ( U_1 ) и ( U_2 ) - потенциальные энергии первого и второго тела соответственно, ( K_1 ) и ( K_2 ) - кинетические энергии первого и второго тела соответственно.

Так как ( U = mgh ) и ( K = \frac{mv^2}{2} ), где ( h ) - высота тел и ( g ) - ускорение свободного падения, то из уравнений выше можно получить:
[ 2m_2gh = m_1gh, ]
[ \frac{m_2v_2^2}{2} = 2 \cdot \frac{m_1v_1^2}{2}. ]

Можем упростить выражения и выразить массы тел:
[ 2m_2 = m_1, ]
[ m_2 = 4m_1. ]

Импульсы тел тогда можно выразить как:
[ p_1 = m_1v_1, ]
[ p_2 = 4m_1v_2. ]

Подставив их в исходное выражение получим:
[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1v_1}{4m_1v_2} = \frac{v_1}{4v_2} = \frac{1}{4}. ]

Ответ: отношение импульса первого тела к импульсу второго тела равно ( \frac{1}{4} ).