Первое начало термодинамики. Теплоёмкость. В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с показателем адиабаты у, находится поршень массы m с площадью сечения S. В положении равновесия давление газа равно р0 и поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом V0. Найти частоту w малых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс адиабатическим и трение ничтожно малым.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения для системы поршень-газ:

m(d^2x/dt^2) = -Sdp/dx,

где x - координата поршня, p - давление газа.

Из уравнения состояния идеального газа для процесса адиабатического расширения:

p*V^γ = const,

где γ = C_p/C_v - показатель адиабаты, C_p и C_v - удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.

Дифференцируем это уравнение и используем цепное правило для нахождения зависимости dp/dx от dx/dt:

γpV^(γ-2)dV/dt = -Sdp/dx.

Также воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

p*V = RT,

где R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Таким образом, имеем:

γpV^(γ-1)dV/dt = -Sdp/dx,

γpV^(γ-1)dV/dt = -S(γpV^(γ-1)*dx/dt)/V,

m(d^2x/dt^2) = γSpV^(γ-1)*dx/dt,

m(d^2x/dt^2) = -γSRTdx/dt.

Теперь перепишем уравнение движения в следующем виде:

m(d^2x/dt^2) + γSRTdx/dt = 0.

Решение этого уравнения представим в виде x = Acos(wt), где A - амплитуда колебаний, w - искомая частота колебаний поршня. Подставим это представление в уравнение движения:

-mw^2Acos(wt) + γSRTAwsin(wt) = 0.

Таким образом, имеем:

mw^2 = γSRTw,

w^2 = γSRT/m.

w = sqrt(γSRT/m).

Таким образом, мы получили искомую частоту малых колебаний поршня около положения равновесия.