Заяц бежит вдоль прямой со скоростью 10 м/с. Его замечает лиса, когда расстояние между ними 150 м, при этом лиса смотрит в начальный момент перпендикулярно движению зайца. Под каким углом, относительно своего начального положения должна двигаться лиса со скоростью 15 м/с, чтобы догнать зайца?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $\theta$ - это угол, под которым движется лиса относительно своего начального положения. Тогда можем составить уравнение движения лисы и зайца:

Для зайца: $x_1 = 10t$, $y_1 = 0$,

Для лисы: $x_2 = 15t\cos(\theta)$, $y_2 = 15t\sin(\theta)$.

Для того чтобы лиса догнала зайца, нужно чтобы расстояние между ними было равно 0 в некоторый момент времени t:

$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 0$,

$\sqrt{(15t\cos(\theta) - 10t)^2 + (15t\sin(\theta) - 0)^2} = 0$,

$225t^2\cos^2(\theta) - 300t\cos(\theta) + 100t^2 + 225t^2\sin^2(\theta) = 0$,

$225t^2 - 300t\cos(\theta) + 100t^2 = 0$,

$325t^2 - 300t\cos(\theta) = 0$,

$t(15t - 10\cos(\theta)) = 0$.

Так как время не может быть равно нулю, то $15t - 10\cos(\theta) = 0$,

$15t = 10\cos(\theta)$,

$t = \frac{2}{3}\cos(\theta)$.

В момент времени $t = \frac{2}{3}\cos(\theta)$ расстояние между зайцем и лисой будет равно 0.

Подставим это значение времени в уравнение движения зайца и найдем соответствующее значение $\theta$:

$15\cdot\frac{2}{3}\cos(\theta)\sin(\theta) = 10\cdot\frac{2}{3}\cos(\theta)$,

$10\sin(\theta) = 10$,

$\sin(\theta) = 1$,

$\theta = \frac{\pi}{2}$.

Итак, чтобы догнать зайца, лиса должна двигаться под углом $\frac{\pi}{2}$, то есть двигаться перпендикулярно направлению движения зайца.