В сосуде находится кислород массой 1,6кг, при температуре 17гр. Цельсия. До какой температуры нужно изобарно нагреть кислород, чтобы газ совершил работу 4*10^4 Дж ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Гей-Люссака для изобарного процесса:

( \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} ),

где ( P_1 ) и ( T_1 ) - изначальное давление и температура кислорода, ( P_2 ) и ( T_2 ) - конечное давление и температура кислорода.

Из уравнения адиабаты ( PV^\gamma = \text{const} ) для моноатомного идеального газа следует, что если газ совершил работу, то его температура изменилась. В данном случае есть только работа, следовательно, есть и изменение температуры.

Из условия задачи:

( W = 4*10^4 = n \cdot C_v \cdot \Delta T ),

где ( n ) - количество вещества газа, ( C_v ) - молярная теплоемкость при изобарном процессе (так как нет явных признаков того, что процесс адиабатный, возьмем ( C_v = \frac{5}{2} R ) для моноатомного идеального газа, где ( R = 8,31 \, \text{Дж/(моль*К)} )), ( \Delta T ) - изменение температуры.

Из уравнения Гей-Люссака можно получить:

[ P_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot P_1 ].

Подставляем это выражение в уравнение из первой части:

[ W = n \cdot C_v \cdot \Delta T = \frac{5}{2} R \cdot n \cdot \Delta T ],

[ 4*10^4 = \frac{5}{2} R \cdot n \cdot \Delta T ],

[ \Delta T = \frac{8*10^4}{5 R \cdot n}, ]

Также изменение температуры можно найти, подставив изменение давления:

[ \frac{P_2}{T_2} = \frac{8*10^4}{5 R \cdot n \cdot T_1} ],

[ T_2 = \frac{5 R \cdot P_2 \cdot T_1}{8*10^4 \cdot n} ],

Подставляем в уравнение изобарного процесса:

[ P_1 = \frac{P_2 \cdot T_1}{T_2} ],

[ T_2 = \frac{P_2 \cdot T_1}{P_1} = \frac{5 R \cdot T_1}{8} ],

[ \Delta T = T_2 - T_1 = \frac{3}{8} T_1 ],

[ T_2 = T_1 + \frac{3}{8} T_1 = \frac{11}{8} T_1 ],

Решим уравнение для температуры:

[ T_2 = \frac{11}{8} \cdot 17 = 23,375 \, \text{градусов Цельсия} ],

Следовательно, температуру нужно нагреть до 23,38 градусов Цельсия.