Плавающий в воде деревянный шарик с плотностью \rho = 750 кг/м3 начали поднимать за нитку вертикально вверх с ускорением a=2 см/с2. Когда его скорость достигла v=10 см/с, нить оборвалась, шарик упал в воду и погрузился на глубину h=45 см. На какую высоту x он потом выскочит из воды, если силу сопротивления воды считать постоянной и диаметр шара много меньше глубины погружения?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения высоты x, на которую шарик выскочит из воды, будем использовать принцип сохранения механической энергии.

Когда шарик был поднят с ускорением, на него работала сила тяжести и сила натяжения нити. Когда нить оборвалась, на шарик действовала только сила тяжести и сила сопротивления воды.

Первоначальная потенциальная энергия шарика, когда его скорость была 0, равна его кинетической энергии, когда его скорость была 10 см/с:

mgh = mv^2/2

где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, h - глубина погружения, v - скорость шарика.

Масса шарика можно найти из формулы для плотности: m = \rho V, где V - объем шарика.

После поднятия шарика на глубину h, его кинетическая энергия равна сумме его потенциальной энергии на глубине h и работы силы сопротивления при подъеме через глубину h:

mv^2/2 = mg(h-x) - F_sop*h

где F_sop - сила сопротивления воды, x - высота, на которую шарик выскочит из воды.

Теперь можем подставить выражения для массы шарика и силы сопротивления в первое уравнение:

\rho Vgh = \rho Vv^2/2 + F_sop*h

Так как диаметр шара много меньше глубины погружения, можно принять, что объем шарика V = 4/3 \pi r^3, где r - радиус шарика.

Также выразим силу сопротивления воды через коэффициент трения воды \alpha и квадрат скорости шарика: F_sop = \alpha v^2

Подставим все выражения и численные значения (g = 10 м/с^2, \pi = 3.14, \alpha = 0.1):

750 4/3 3.14 0.45 10 = 750 4/3 3.14 0.1 100 / 2 + 0.1 0.45 x

1350 = 1575 + 0.045x

0.045x = -225

x = -225 / 0.045 = -5000 см = -50 м

Ответ: шарик выскочит из воды на высоту 50 м.