Работа, мощность, энергия, законы сохранения
Два шарика с массами m1 и m2 подвешены на вертикальных тонких нитях
так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и
связанная нитью пружина. Нити подвеса разной длины 81 см и 36 см. При
пережигании нити пружина распрямляется, при этом шарики разлетаются в
разные стороны. При максимальном отклонении нити образуют с вертикалью
одинаковые углы. Чему равно отношение масс m1/m2? Считать величину
сжатия пружины во много раз меньше длины нитей
нужно подробное объяснение и решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол между вертикалью и нитью, на которой подвешен шарик массы m1, равен α, а угол между вертикалью и нитью, на которой подвешен шарик массы m2, равен β.

Так как нити подвеса разной длины, то для шарика массы m1 справедливо:

L1 sin(α) = L2 sin(β), где L1 и L2 - длины нитей подвеса.

Пусть после отпускания нити пружины, шарики разлетаются в разные стороны на расстояние x.

Тогда сила упругости пружины, толкающая шарик массы m1, равна по модулю силе тяжести, действующей на шарик массы m2:

kx = m2 * g,

где k - коэффициент жесткости пружины, g - ускорение свободного падения.

Также сила тяжести, действующая на шарик массы m2, равна силе упругости пружины, толкающей шарик массы m1:

m2 * g = kx.

Так как нить сжата и пружина стремится к равновесному положению, то сумма кинетической и потенциальной энергий шариков до отпускания нити пружины равна сумме этих энергий после отпускания нити пружины.

Максимальное отклонение шариков от вертикали, обозначим его h, равно x sin(α) = x sin(β) = h.

Тогда кинетическая энергия шариков после отпускания нити пружины равна 0, так как шарики остановятся на максимальном отклонении h.

Потенциальная энергия пружины после отпускания нити равна 0, так как пружина вышла из состояния упругого сжатия.

Таким образом, получаем уравнение:

m1 g h = (1/2) k h^2.

Подставляем выражения для h и x:

m1 g x sin(α) = (1/2) k (x sin(α))^2.

Откуда:

m1 g sin(α) = (1/2) k x * sin^2(α).

Также учитывая уравнение kx = m2 * g, получаем:

m1 g sin(α) = (1/2) m2 g * sin^2(α).

Исключаем g:

m1 sin(α) = (1/2) m2 * sin^2(α).

Аналогично для шарика массы m2 получаем:

m2 sin(β) = (1/2) m1 * sin^2(β).

Делим одно уравнение на другое, получаем:

(m1/m2) (sin(α)/sin(β)) = (1/2) (1/sin(β)/1/sin(α)).

Так как sin(α)/sin(β) = L1/L2, то:

(m1/m2) = (1/2) (L2/L1)^2 = (1/2) (36/81)^2 = 1/8.

Таким образом, отношение масс m1 к m2 равно 1:8.