Сферический конденсатор заряжен зарядом q, а его обкладки имеют радиусы r и R, причём q<Q. Сферический конденсатор заряжен зарядом q, а его обкладки имеют радиусы r и R, причём q<Q. Определите напряжённость электрического поля внутри конденсатора на расстоянии x от его центра. Вычислите плотности энергии поля внутри конденсатора вблизи каждой из обкладок. Сравните их с величиной W//V, где W – полная энергия конденсатора, а V – объём пространства между обкладками.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения напряженности электрического поля внутри конденсатора воспользуемся формулой для напряжения конденсатора
[ U = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) ]

Найдем электрическое поле внутри конденсатора как градиент напряжения
[ E = -\frac{dU}{dx} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{R^2} \right) ]

Теперь вычислим плотности энергии поля вблизи каждой обкладки. Плотность энергии электрического поля определяется формулой
[ w = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 ]

Для первой обкладки (радиуса r) получаем
[ w_r = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{R^2} \right) \right)^2 = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4} ]

Для второй обкладки (радиуса R) получаем
[ w_R = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{R^2} \right) \right)^2 = \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 R^4} ]

Теперь найдем полную энергию конденсатора W
[ W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) ]

Объем пространства между обкладками V равен
[ V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) ]

Итак, сравнив плотности энергии поля вблизи каждой обкладки с величиной W/V, можно увидеть, что они будут различаться, так как величина W/V зависит только от геометрии конденсатора, а плотности энергии поля еще зависят и от радиусов обкладок и расстояния до них.