Задача по физике, решаемая через интеграл. Проволочное кольцо радиуса R и массы M взаимодействует с материальной точкой массы m, лежащая на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из середины. Расстояние от
материальной точки до центра кольца равно a. Найти силу гравитационного притяжения F кольца и материальной точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:
[ F = G \frac{Mm}{r^2} ]
где G - постоянная всемирного тяготения, M - масса кольца, m - масса точки, r - расстояние между центром кольца и точкой.

Для данной задачи r можно представить как сумму a и расстояния между центром кольца и точкой как радиус кольца R:
[ r = a + R ]

Теперь можем записать силу гравитационного притяжения как:
[ F = G \frac{Mm}{(a+R)^2} ]

Данную формулу можно представить в виде интеграла от распределенной массы кольца:
[ F = Gm \int_{0}^{2\pi} \frac{\lambda R d\theta}{(a+R\cos(\theta))^2} ]
где ( \lambda = \frac{M}{2\pi R} ) - плотность массы кольца.

После проведения вычислений интеграла получим:
[ F = \frac{2GmM}{R(a^2-R^2)} ]

Таким образом, сила гравитационного притяжения кольца и материальной точки равна ( \frac{2GmM}{R(a^2-R^2)} )