Физика. Задача. Колебания и волны Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты,
происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях по уравнениям: х = А1
cos ωt и y = А2 sin ωt. Определить уравнение траектории точки посредством f(x,y) = 0.
Принять: А1=3 см, А2=1 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения уравнения траектории точки, объединим уравнения амплитудных колебаний в комплексную форму
z = x + iy

где x = A1 cos ωt и y = A2 sin ωt

Тогда z = A1 cos ωt + iA2 sin ωt

Выразим cos ωt и sin ωt через exponents
cos ωt = (e^(iωt) + e^(-iωt))/
sin ωt = (e^(iωt) - e^(-iωt))/2i

Подставляя эти выражения в z, получаем
z = (A1/2)(e^(iωt) + e^(-iωt)) + (iA2/2)(e^(iωt) - e^(-iωt))

z = (A1/2 + iA2/2)e^(iωt) + (A1/2 - iA2/2)e^(-iωt)

Теперь можем записать уравнение траектории точки в виде
f(x,y) = (x - A1/2)^2 + (y - A2/2)^2 - (A1^2 + A2^2)/4 = 0

Подставляя значения A1 = 3 см и A2 = 1 см, получаем
f(x,y) = (x - 1.5)^2 + (y - 0.5)^2 - 5 = 0

Таким образом, уравнение траектории точки будет
(x - 1.5)^2 + (y - 0.5)^2 - 5 = 0.