Плоская однородная пластинка в виде квадрата ABCD, длина стороны которого равна 14,1 см, скользит по гладкой горизонтальной поверхности. Известно, что в некоторый момент времени векторы скоростей точек A и B пластинки направлены вдоль диагоналей AC и BD соответственно, при этом величина скорости точки A равна 10 см/c.

Найдите скорость центра масс пластинки в рассматриваемый момент времени. Ответ выразите в см/c, округлите до целого.
Сколько полных оборотов вокруг движущейся вертикальной оси, проходящей через центр масс, совершит пластинка за 30 секунд движения?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем скорость центра масс пластинки. Поскольку векторы скоростей точек A и B направлены вдоль диагоналей AC и BD соответственно, то скорость центра масс будет направлена вдоль диагонали пластинки CE, где E - центр масс.
Так как отрезки AC и BD равны между собой и диагоналями квадрата, то CE = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{14,1}{\sqrt{2}} см.
По теореме Пифагора найдем длину диагонали CE: CE = \sqrt{CE^2 + AE^2} = \sqrt{(\frac{14,1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{14,1}{2})^2} = \sqrt{10} см.
Теперь найдем скорость центра масс пластинки Vcm по формуле Vcm = \frac{VA + VB}{2} = \frac{10 + 0}{2} см/c = 5 см/c.

Посчитаем время одного полного оборота вокруг движущейся вертикальной оси. Поскольку пластинка совершает полный оборот вокруг своей вертикальной оси за время, равное времени, за которое она делает один полный оборот вокруг своей центральной оси, то это время равно 2π/5 секунд, так как центральная ось находится на расстоянии 1/5 от вертикальной оси (половина стороны квадрата).
Теперь найдем, сколько полных оборотов вокруг движущейся вертикальной оси совершит пластинка за 30 секунд: 30 / (2π/5) ≈ 24 оборота.

Итак, скорость центра масс пластинки в заданный момент времени равна 5 см/c, а пластинка совершит около 24 полных оборотов вокруг движущейся вертикальной оси за 30 секунд движения.