РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО ФИЗИКЕ Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен M? Сколько оборотов сделает обруч до полной остановки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

При раскручивании обруча до угловой скорости ω, его кинетическая энергия равна ( \frac{1}{2} I \omega^2), где I - момент инерции обруча относительно его оси вращения. Так как обруч лег на горизонтальный стол, начнется его вращение с замедлением из-за силы трения между столом и обручем. Уравнение движения будет иметь вид:

[ \frac{d}{dt}( \frac{1}{2} I \omega^2 ) = - M \cdot R \cdot g \cdot \omega ]

Решив это дифференциальное уравнение, найдем зависимость угловой скорости от времени:

[ \omega(t) = \omega_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot R \cdot g}{I} \cdot t} ]

Где ( \omega_0 = \omega ) - угловая скорость обруча при начале его движения.

Обруч остановится, когда его угловая скорость станет равной нулю, то есть ( \omega(t_{\text{остановки}}) = 0 ). Решив это уравнение, найдем время, через которое обруч остановится:

[ t_{\text{остановки}} = \frac{I}{M \cdot R \cdot g} \cdot \ln{\frac{\omega_0}{0}} = \frac{I}{M \cdot R \cdot g} \cdot \ln{\omega_0} ]

Чтобы найти количество оборотов, которые сделает обруч до полной остановки, нужно выразить угловые скорости через количество оборотов. Угловая скорость связана с угловой скоростью через соотношение ( \omega = \frac{2 \pi \cdot \text{обороты}}{t} ). Используя это соотношение, можно найти количество оборотов:

[ \text{обороты} = \frac{\omega_0 \cdot I}{2 \pi \cdot M \cdot R \cdot g} \cdot \ln{\omega_0} ]

Итак, время, через которое обруч остановится, равно ( t_{\text{остановки}} = \frac{I}{M \cdot R \cdot g} \cdot \ln{\omega_0} ), а количество оборотов до остановки равно ( \text{обороты} = \frac{\omega_0 \cdot I}{2 \pi \cdot M \cdot R \cdot g} \cdot \ln{\omega_0} ).