Клетка подъёмника массой m = 5000 кг обслуживает шахту глубиной 900 м. Когда клетка находится на дне шахты, на неё начинает действовать вертикально вверх сила тяги 60 кН. Через 150 м после начала подъёма сила тяги изменяется так, что на протяжении следующих 600 м движение клетки становится равномерным. Наконец сила тяги изменяется ещё раз так, что клетка останавливается, достигнув вершины шахты. Силу трения считать постоянной и равной 5 кН. Рассмотреть движение на этих участках и определить продолжительность подъёма

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первоначально, когда клетка находится на дне шахты, на неё действуют следующие силы: сила тяги вверх 60 кН, сила тяжести $F_g = m \cdot g = 5000 \cdot 9.81 = 49050$ Н и сила трения 5 кН.

Так как клетка находится на дне шахты, то она находится в равновесии, т.е. сумма всех вертикальных сил равна нулю:
$60 - 49050 - 5 = 0$
$60 - 49050 - 5 = 0$
$-49015 = 0$

Отсюда получаем, что направление движения клетки вверх.

После начала подъёма сила тяги изменяется. Поскольку на участке следующих 600 м клетка движется с постоянной скоростью, это означает, что сумма всех сил на клетку равна нулю. Так как сила трения постоянна, то новая сила тяги $F$ может быть найдена по формуле:
$F = Fg + F{friction}$
$F = 5000 \cdot 9.81 + 5 = 49050 + 5 = 49055$ Н

Таким образом, на участке следующих 600 м сила тяги должна быть равна 49055 Н.

Наконец, когда клетка достигает вершины шахты, сумма всех вертикальных сил равна нулю:
$F - 49050 - 5 = 0$
$F - 49050 - 5 = 0$
$F - 49055 = 0$
$F = 49055$ Н

Теперь мы можем определить продолжительность подъёма. Для этого вычислим ускорение клетки на каждом участке:

Участок до изменения силы тяги: ускорение $a_1 = \frac{F - Fg - F{friction}}{m} = \frac{60 - 49050 - 5}{5000} = \frac{5}{5000} = 0.001$ м/с²Участок после изменения силы тяги: ускорение $a_2 = 0$ м/с²Участок до остановки: ускорение $a_3 = \frac{F - Fg - F{friction}}{m} = \frac{49055 - 49050 - 5}{5000} = \frac{0}{5000} = 0$ м/с²

Теперь найдем время движения на каждом участке:

Участок до изменения силы тяги: $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{a_1}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 150}{0.001}} = \sqrt{300000} \approx 547.72$ сУчасток после изменения силы тяги: $t_2 = \frac{s}{v} = \frac{600}{v}$Участок до остановки: $t_3 = \sqrt{\frac{2s}{a_3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 900}{0}} = \sqrt{0} = 0$ с

Теперь найдем скорость на участке после изменения силы тяги:
$v = \sqrt{u^2 + 2as} = \sqrt{0 + 2 \cdot 0.001 \cdot 600} = \sqrt{1.2} \approx 1.1$ м/с
Таким образом, $t_2 = \frac{600}{1.1} \approx 545.45$ с

Итак, общее время подъема будет равно:
$t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + t_3 = 547.72 + 545.45 + 0 = 1093.17$ с

Итак, продолжительность подъема равна 1093.17 с.