Точка участвует в двух колебаниях одного направления и одинаковой частоты ν. Амплитуды колебаний равны А1 и А2. ϕ01 и ϕ02 – начальные фазы этих колебаний. А – амплитуда результирующего колебания, ϕ0 – его начальная фаза. Найдите недостающие величины: A2 и A. Если A1 = 5 см, ф01 = 60°, ф02 = 15°, ф0 = 30°, v = 150 Гц.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения A2 мы можем воспользоваться следующими формулами для проекции колебаний на ось OX:

x = A1cos(ωt + ϕ01
x' = A2cos(ωt + ϕ02)

А результирующего колебания можно найти по формуле:

x_res = A*cos(ωt + ϕ0)

Сложим проекции колебаний и приравняем к проекции результирующего колебания:

Acos(ωt + ϕ0) = A1cos(ωt + ϕ01) + A2*cos(ωt + ϕ02)

С учетом начальных фаз получаем:

Acos(ωt + 30°) = 5cos(ωt + 60°) + A2*cos(ωt + 15°)

Используя тригонометрические преобразования, найдем A2:

Acos(ωt + 30°) = 5cos(ωt + 60°) + A2cos(ωt + 15°
Acos(ωt + 30°) = 5(cos(ωt)cos(60°) - sin(ωt)sin(60°)) + A2(cos(ωt)cos(15°) - sin(ωt)sin(15°)
Acos(ωt + 30°) = 5(0.5cos(ωt) - 0.866sin(ωt)) + A2(0.966cos(ωt) - 0.259sin(ωt)
Acos(ωt + 30°) = 2.5cos(ωt) - 4.33sin(ωt) + 0.966A2cos(ωt) - 0.259A2sin(ωt)

Сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, мы можем найти A2. Коэффициенты при синусе должны быть равны друг другу:

-4.33 = -0.259*A
A2 = 16.74 см

Теперь найдем амплитуду результирующего колебания A:

A = sqrt(A1^2 + A2^2) = sqrt(5^2 + 16.74^2) = sqrt(25 + 280.32) = sqrt(305.32) ≈ 17.47 см

Итак, A2 = 16.74 см, A ≈ 17.47 см.