Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) вычисляется по формуле:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_]
Где ( a_x, a_y, a_z ) и ( b_x, b_y, b_z ) — компоненты векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Для наших векторов:
\mathbf{a} = \alpha \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad a_x = \alpha, \, a_y = 4, \, a_z = 1\text{)]
\mathbf{b} = \alpha \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad b_x = 0, \, b_y = \alpha, \, b_z = 3\text{)]
Теперь можем записать скалярное произведение:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_= \alpha \cdot 0 + 4 \cdot \alpha + 1 \cdot = 4\alpha + ]
Для перпендикулярности векторов поставим это скалярное произведение равно нулю:
4\alpha + 3 = ]
Решим это уравнение для ( \alpha ):
4\alpha = -\alpha = -\frac{3}{4]
Таким образом, значение ( \alpha ), при котором векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, равно ( -\frac{3}{4} ).
Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) вычисляется по формуле:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_
]
Где ( a_x, a_y, a_z ) и ( b_x, b_y, b_z ) — компоненты векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Для наших векторов:
\mathbf{a} = \alpha \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad a_x = \alpha, \, a_y = 4, \, a_z = 1\text{)
]
\mathbf{b} = \alpha \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad b_x = 0, \, b_y = \alpha, \, b_z = 3\text{)
]
Теперь можем записать скалярное произведение:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_
= \alpha \cdot 0 + 4 \cdot \alpha + 1 \cdot
= 4\alpha +
]
Для перпендикулярности векторов поставим это скалярное произведение равно нулю:
4\alpha + 3 =
]
Решим это уравнение для ( \alpha ):
4\alpha = -
\alpha = -\frac{3}{4
]
Таким образом, значение ( \alpha ), при котором векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, равно ( -\frac{3}{4} ).