Взаимная перпендикулярность векторов. определить значение Альфа, при котором векторы а=Альфа×i + 4×j+ k и b=Альфа×j + 3k взаимно перпендикулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) вычисляется по формуле:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
]

Где ( a_x, a_y, a_z ) и ( b_x, b_y, b_z ) — компоненты векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Для наших векторов:

[
\mathbf{a} = \alpha \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad a_x = \alpha, \, a_y = 4, \, a_z = 1\text{)}
]

[
\mathbf{b} = \alpha \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \quad \text{(где} \quad b_x = 0, \, b_y = \alpha, \, b_z = 3\text{)}
]

Теперь можем записать скалярное произведение:

[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
= \alpha \cdot 0 + 4 \cdot \alpha + 1 \cdot 3
= 4\alpha + 3
]

Для перпендикулярности векторов поставим это скалярное произведение равно нулю:

[
4\alpha + 3 = 0
]

Решим это уравнение для ( \alpha ):

[
4\alpha = -3
]
[
\alpha = -\frac{3}{4}
]

Таким образом, значение ( \alpha ), при котором векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) взаимно перпендикулярны, равно ( -\frac{3}{4} ).