Геометрия нужна помощь решите треугольник, если a=12, b=14, угол A = 70°
2) решите треугольник, если a=15, c=16, угол B=60°
3) решите треугольник, если a=16, b=12, c=10
4) решите треугольник, если a=8, угол А=70°, угол В=50° найти их все косинусы и синусы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Разберем каждый из четырёх случаев по отдельности. Для решения задач по треугольникам мы будем использовать теоремы синусов и косинусов.

1. ( a = 12, b = 14, \angle A = 70^\circ )

Сначала найдем угол ( B ) с помощью теоремы синусов:

[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a}
]
Подставляем числа:

[
\sin B = \frac{14 \cdot \sin 70^\circ}{12}
]

Сначала находим ( \sin 70^\circ ):

[
\sin 70^\circ \approx 0.9397
]

Теперь подставим:

[
\sin B = \frac{14 \cdot 0.9397}{12} \approx 1.0997
]

Так как ( \sin B > 1 ), это значит, что треугольник не существует с данными значениями.

2. ( a = 15, c = 16, \angle B = 60^\circ )

Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти сторону ( b ):

[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B
]

Подставляем значения:

[
b^2 = 15^2 + 16^2 - 2 \cdot 15 \cdot 16 \cdot \cos 60^\circ
]
[
b^2 = 225 + 256 - 2 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 0.5
]
[
b^2 = 225 + 256 - 240 = 241
]
[
b \approx \sqrt{241} \approx 15.52
]

Теперь найдем углы ( A ) и ( C ) с помощью теоремы синусов:

Для угла ( A ):
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
]

Сначала найдем ( \sin A ):
[
\sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b}
]
[
\sin A = \frac{15 \cdot \sin 60^\circ}{15.52}
]

Где ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 ):
[
\sin A = \frac{15 \cdot 0.866}{15.52} \approx 0.836
]

Теперь находим угол ( A ):
[
A \approx \arcsin(0.836) \approx 56.34^\circ
]

Угол ( C = 180^\circ - A - B ):
[
C \approx 180^\circ - 56.34^\circ - 60^\circ \approx 63.66^\circ
]

3. ( a = 16, b = 12, c = 10 )

Используем теорему косинусов для нахождения углов.

[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
]
[
\cos A = \frac{12^2 + 10^2 - 16^2}{2 \cdot 12 \cdot 10}
]
[
\cos A = \frac{144 + 100 - 256}{240} = \frac{-12}{240} = -0.05 \Rightarrow A \approx 120.24^\circ
]

Теперь ( \cos B ):
[
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
]
[
\cos B = \frac{16^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 16 \cdot 10}
]
[
\cos B = \frac{256 + 100 - 144}{320} = \frac{212}{320} = 0.6625 \Rightarrow B \approx 48.37^\circ
]

И последний угол:
[
C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 120.24^\circ - 48.37^\circ \approx 11.39^\circ
]

4. ( a = 8, \angle A = 70^\circ, \angle B = 50^\circ )

Сначала находим угол ( C ):
[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ
]

Теперь применим теорему синусов для нахождения сторон ( b ) и ( c ):
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]

Для ( b ):
[
\frac{8}{\sin 70^\circ} = \frac{b}{\sin 50^\circ}
]
[
b = \frac{8 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}
]

Где ( \sin 50^\circ \approx 0.766 ):
[
b = \frac{8 \cdot 0.766}{0.9397} \approx 6.51
]

Для ( c ):
[
c = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ}
]
[
c \approx \frac{8 \cdot 0.866}{0.9397} \approx 7.37
]

Теперь, найдём косинусы и синусы для всех углов.

( \sin A = \sin 70^\circ \approx 0.9397 ), ( \cos A \approx 0.342 )( \sin B = \sin 50^\circ \approx 0.7660 ), ( \cos B \approx 0.643 )( \sin C = \sin 60^\circ \approx 0.8660 ), ( \cos C \approx 0.5 )Результаты:Треугольник не существует.( A \approx 56.34^\circ, B = 60^\circ, C \approx 63.66^\circ, b \approx 15.52 ).( A \approx 120.24^\circ, B \approx 48.37^\circ, C \approx 11.39^\circ ).( b \approx 6.51, c \approx 7.37 ) и ( A = 70^\circ, B = 50^\circ, C = 60^\circ ).