Физика решение задачи X=4t^2 y=-2t z=5
Радиус-вектор и координаты, характеризующие положение частицы относительно неподвижной точки О, изменяются со временем по законам вектор r(t), x(t), y(x) и z(t) соответственно. Требуется найти перемещение дельта вектор r, скорости V и ускорения a ,частицы спустя время после начала движения, а так же их модули. Записать уравнение траектории движения частицы в плоскости XY.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим данную задачу, используя заданные законы движения.

Координаты частицы заданы следующим образом:
[
x(t) = 4t^2
]
[
y(t) = -2t
]
[
z(t) = 5
]

Сначала найдём перемещение ( \Delta \mathbf{r} ). Поскольку начальная позиция частицы при ( t = 0 ) равна:
[
x(0) = 0, \quad y(0) = 0, \quad z(0) = 5
]
То перемещение можно определить как:
[
\Delta x = x(t) - x(0) = 4t^2 - 0 = 4t^2
]
[
\Delta y = y(t) - y(0) = -2t - 0 = -2t
]
[
\Delta z = z(t) - z(0) = 5 - 5 = 0
]

Таким образом, вектор перемещения будет
[
\Delta \mathbf{r} = \langle 4t^2, -2t, 0 \rangle
]

Теперь найдем скорости ( \mathbf{V} ):
[
V_x(t) = \frac{dx}{dt} = 8t
]
[
V_y(t) = \frac{dy}{dt} = -2
]
[
V_z(t) = \frac{dz}{dt} = 0
]

Вектор скорости:
[
\mathbf{V}(t) = \langle 8t, -2, 0 \rangle
]

Теперь найдем ускорения ( \mathbf{a} ):
[
a_x(t) = \frac{dV_x}{dt} = 8
]
[
a_y(t) = \frac{dV_y}{dt} = 0
]
[
a_z(t) = \frac{dV_z}{dt} = 0
]

Вектор ускорения:
[
\mathbf{a}(t) = \langle 8, 0, 0 \rangle
]

Теперь найдем модули перемещения, скорости и ускорения:

Модуль перемещения:
[
|\Delta \mathbf{r}| = \sqrt{(4t^2)^2 + (-2t)^2 + 0^2} = \sqrt{16t^4 + 4t^2} = 2t \sqrt{4t^2 + 1}
]Модуль скорости:
[
|\mathbf{V}| = \sqrt{(8t)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{64t^2 + 4} = 2\sqrt{16t^2 + 1}
]Модуль ускорения:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(8)^2 + 0^2 + 0^2} = 8
]

Уравнение траектории в плоскости XY:
Из уравнений ( x(t) = 4t^2 ) и ( y(t) = -2t ) выразим ( t ) через ( y ):
[
t = -\frac{y}{2}
]
Подставляя это значение в уравнение для ( x ):
[
x = 4\left(-\frac{y}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{y^2}{4} = y^2
]

Таким образом, уравнение траектории в плоскости XY:
[
x = y^2
]

Это уравнение представляет собой параболу.