Высшая проба задачи 4) Ученик проводит эксперимент по гидростатическому взвешиванию. Для этого он закрепляет гвоздь на невесомой нити на краю 50 сантиметровой линейки и уравновешивает конструкцию на нити. Точка подвеса при этом делит линейку в соотношении 1:9. После этого он помещает гвоздь в воду и для равновесия смещает на 4 см точку подвеса. Определите плотность гвоздя, если плотность воды составляет 1 г/см3. В ответе укажите плотность в г/см3 с точностью до десятых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи используем принцип моментов.

Дано:

Длина линейки ( L = 50 ) см.Точка подвеса делит линейку в соотношении 1:9, что означает, что расстояние от точки подвеса до конца с гвоздем (веса) составляет ( x = \frac{1}{1+9} \cdot 50 = 5 ) см, а расстояние до другого конца составляет ( 9x = 45 ) см.После погружения гвоздя в воду точка подвеса смещается на 4 см.

Обозначим:

( d ) - плотность гвоздя (г/см³).( V ) - объем гвоздя (см³).Плотность воды ( \rho{\text{вода}} = 1 ) г/см³, поэтому сила Архимеда, действующая на гвоздь, равна ( F{\text{А}} = \rho_{\text{вода}} \cdot V \cdot g = 1 \cdot V \cdot g = V \cdot g ) (где ( g ) - ускорение свободного падения, которое нас не интересует, так как оно сократится в дальнейшем).На первом этапе системы с гвоздем, точка подвеса находится в исходном положении. Уравновешивающие моменты:

[
d \cdot V \cdot g \cdot 5 = 0 \cdot (45 + 0)
]

После того как гвоздь помещен в воду и точка подвеса сместилась на 4 см, расстояния до гвоздя и до другого конца изменятся:Расстояние до гвоздя: ( 5 ) см + ( 4 ) см = ( 9 ) см,Расстояние до другого конца: ( 45 ) см - ( 4 ) см = ( 41 ) см.Теперь пишем уравнение моментов для нового положения:

[
d \cdot V \cdot g \cdot 9 - V \cdot g \cdot 41 = 0
]

Упростим уравнение:

[
d \cdot V \cdot 9 = V \cdot 41
]

Делим обе стороны на ( V ) (предполагая, что ( V \neq 0 )):

[
d \cdot 9 = 41
]

Отсюда найдем плотность гвоздя:

[
d = \frac{41}{9} \approx 4.56
]

Округлим до десятых:

[
d \approx 4.6 \text{ г/см}^3
]

Ответ: плотность гвоздя составляет примерно 4.6 г/см³.