Задача на изменение импульса (физика) На массивную тележку, равномерно движущуюся вверх по наклонной плоскости со скоростью u падает мешок с песком, движущийся по вертикали со скоростью v. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол A. При каком коэффициенте k трения скольжения мешок не будет проскальзывать по тележке? Длительность соударения так мала, что импульс силы тяжести пренебрежимо мал. Массы мешка и тележки не даны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим задачу о столкновении мешка с песком и тележки, движущейся по наклонной плоскости.

Обозначим:

( m ) — массу мешка с песком,( M ) — массу тележки,( u ) — скорость тележки по наклонной плоскости,( v ) — скорость мешка с песком по вертикали,( A ) — угол наклона плоскости,( k ) — коэффициент трения скольжения.

Определим скорость мешка после падения на тележку:
Мешок падает с вертикальной скоростью ( v ), и при соприкосновении с тележкой с учетом наклона, его скорость относительно тележки на момент соприкосновения будет иметь компоненты:

По горизонтали (параллельно наклонной плоскости): ( v_x = v \cdot \sin(A) )По вертикали (перпендикулярно наклонной плоскости): ( v_y = -v \cdot \cos(A) )

После того как мешок упадет на тележку, они начинаются двигаться вместе с общей скоростью ( V ).

Импульс до и после столкновения:
Сохраним импульс системы до и после падения мешка на тележку:
Исходный импульс ( p{\text{нач}} ):
[
p{\text{нач}} = M \cdot u + m \cdot vx
]
Итоговый импульс ( p{\text{кон}} ):
[
p_{\text{кон}} = (M + m) \cdot V
]

По закону сохранения импульса:
[
M \cdot u + m \cdot (v \cdot \sin(A)) = (M + m) \cdot V
]

Отсюда можно выразить скорость ( V ):
[
V = \frac{M \cdot u + m \cdot (v \cdot \sin(A))}{M + m}
]

Условия для отсутствия проскальзывания:
Мешок не будет проскальзывать по тележке, если сила трения будет достаточно велика для управления. Максимальная сила трения равна:
[
F_{\text{тр}}^{\text{макс}} = k \cdot (M + m) \cdot g \cdot \cos(A)
]
Здесь ( g ) — ускорение свободного падения.

Влияние центростремительного ускорения:
На мешок будет действовать центростремительное ускорение:
[
a = \frac{(V - u)}{\Delta t} \quad (\Delta t \text{ — время взаимодействия, очень малое, пренебрегаем})
]

Равновесие сил:
Для предотвращения проскальзывания:
[
m \cdot a \leq k \cdot (M + m) \cdot g \cdot \cos(A)
]

Таким образом, искомый коэффициент ( k ) трения можно найти, подставив все известные величины и выйдя на необходимую формулу. В результате мы получим зависимость коэффициента трения от угла наклона ( A ), скоростей ( u ) и ( v ) и массы тележки и мешка.

Кратко, у нас есть система уравнений, которая позволяет определить требуемый коэффициент ( k ). Однако для конечного результата понадобятся дополнительные числовые данные о массах или значениях ( u ), ( v ) и угла ( A ).